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直线与圆的位置关系二

核心导读:一. 教学内容:直线与圆的位置关系(二)   二. 重点、难点: 1. 相交弦定理 2. 割线定理 3. 切割线定理 4. 切线长定理   【典型例题】 如图,⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆ED与⊙O切于D,求证: 证明:连结OD、BD ∵ EB、ED都是⊙O的切线 ∴ EB=ED 又EO=EO ∠EBO=∠EDO=90° ∴ △EBO≌△EDO ∴

一. 教学内容:直线与圆的位置关系(二)

 

二. 重点、难点:

1. 相交弦定理

2. 割线定理

3. 切割线定理

4. 切线长定理

 

【典型例题】

[例1] 如图,⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆ED与⊙O切于D,求证:

证明:连结OD、BD ∵ EB、ED都是⊙O的切线 ∴ EB=ED 又EO=EO

∠EBO=∠EDO=90° ∴ △EBO≌△EDO ∴ ∠1=∠2

∵ ∠A=< style= > ∠DOB=∠1,AO=OB ∴ EO CA ∵ OB=OD,∠1=∠2

∴ BD⊥OE ∴ BD⊥CA 又 AB⊥BC ∴ △ABC∽△BDC

[例2] 如图,AB是半圆的直径,E是 上任意一点,过E作半圆的切线CD,分别过A,B作半圆的切线交CD于C、D两点,连结AD,BC交于P点,连结EP且延长交AB于F点,求证:EP=FP。

证明:∵ CA、CE是⊙O的切线 ∴ CA=CE 同理DE=DB

∵ CA是切线且AB为直径 ∴ CA⊥AB 同理DB⊥AB

∴ CA//DB ∴ △CAP∽△BDP ∴

∴ EP//CA ∴

[例3] 如图所示,已知:P为正△ABC外接圆上一点,连结PB,PC和PA,D是PA和BC的交点。求证:

证明:在△PBD和△CAD中,∵ ∠PBD=∠CAD ∠PDB=∠CDA

∴ △PBD∽△CAD ∴ 同理可证

 

[例4] 如图,已知O是△ABC的外心,I是△ABC的内心,且∠I ∠BOC=180°,求∠BAC。

解:∵ ∠BOC=2∠A ∠BIC=90° 2∠A=180°

5∠A=180° ∠A=36°

 

[例5] 如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D,求证:AC平分∠BAD。

证明:连结BC ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=90° ∴ ∠B ∠CAB=90°

∵ AD⊥CE ∴ ∠ADC=90° ∴ ∠ACD ∠DAC=90°

∵ AC是弦,且CE和⊙O切于点C ∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠DAC=∠CAB

∴ AC平分∠BAD

 

[例6] 已知:如图,⊙O和⊙O′都经过A、B两点,AC是⊙O′的切线交⊙O于点C,AD是⊙O的切线交⊙O′于点D,求证:

证明:∵ ∠C=∠1 ∠2=∠D ∴ △ACB∽△DAB ∴

[例7] 已知:如图,⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B,PA=6cm,AB=解:设⊙O的半径为r,PO和它的延长线交⊙O于C、D

根据切割线定理的推论,有∵ PB=PA AB=∴ ⊙O的半径为8cm

 

[例8] 已知:如图所示,在△ABC中,∠A=15°,∠ACB=90°,BC=1,O为AC上一点,以O为圆心,OC为半径的半圆交AB于E、F两点,且E为AB的中点,D为半圆与AC的另一交点。

(1)求CF的长;

(2)求BF的长;

(3)求证:AD是方程解:(1)连结CE ∵ E是 的斜边AB的中点 ∴ CE=AE

∴ ∠ECA=∠A=15° ∴ ∠FEC=30°

由题意可知,BC垂直于⊙O的半径OC ∴ BC与⊙O相切于点C

∴ ∠BCF=∠FEC=30° ∵ ∠B=90°-∠A=75°

∴ ∠BFC=180°-(∠B ∠BCF)=180°-(75° 30°)=75°

∴ ∠B=∠BFC ∴ CF=BC=1

(2)连结OE、OF ∵ OC=OF ∠COF=2∠FEC=60°

∴ △COF是正△ ∴ OC=OF=CF=1

∵ ∠ ECF=90°-(∠BCF ∠ECA)=90°-(30° 15°)=45°

∴ ∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°

∴ △EOF是等腰直角三角形 ∴ EF=由切割线定理得

解得 (舍)

(3)∵ ∵ AF=AE EF=根据切割线定理

∴ AD是方程

[例9] 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12cm和16cm两段第二条弦的长为32cm,求第二条弦被交点分成的两段的长。

解:设第二条弦被交点分成的一段长为xcm,则另一段长为

根据相交弦定理有

另一段 另一条弦被交点分成的两段长分别为8cm,24cm。

 

[例10] 如图所示,⊙O分别切AB、AC于E、F,且交BC于M,N两点,∠A=90°,∠B=∠C,EB=1,△ABC的面积为S1,⊙O的面积为S2,(1)求证:BM=NC;(2)求BM。

证明:(1)连结AO交BC于D ∵ AB、AC都是⊙O的切线

∴ ∠DAB=∠OAC ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC ∴ AO是BC的垂直平分线

∴ BD=DC ∵ OD⊥MN ∴ MD=DN ∴ BM=NC

(2)连结OE、OF,则四边形AEOF是四边形,设AE=x,则AB=x 1

S1= S2­= ∴ AE=4 AB=5 BC=设BM=y,由切割线定理得

【模拟试题

1. 给出下列说法:① 和圆有一个公共点的直线是圆的切线;② 和半径垂直的直线是圆的切线;③ 到圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线;④ 圆的切线垂直于半径。其中正确的个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. ⊙O1和⊙O2的半径分别为8和5,两圆没有公共点,则圆心距O1O2的取值范围是( )

A. O1O2­>13 B. O1O2<3

C. 3<O1O2<13 D. O1O2>13或O1O2<3

3. 圆的最大弦长为m,若直线与圆相交,设圆心到直线的距离为 ,则( )

A. B. D.

5. 如图所示,两枚大小相同的硬币,一枚固定不动,另一枚绕其边缘滚动(无滑动),当运动硬币滚动到原来位置(与第一次重合)时,运动硬币外转了( )

A. 1圈 B. 2圈 C. 3圈 D. 4圈

6. 如图,⊙M与x轴相切于原点,平行于y轴的直线交圆于P、Q两点,P在Q点的下方,若点P的坐标(2,1),则圆心M的坐标是( )

A.(0,3) B.(0, ) C.(0,2) D.(0,

7. 如图,直线 与⊙O1、⊙O2、⊙O3都相切,且这三圆两两相切,⊙O3的半径为4,⊙O1与⊙O2是两个相等圆,则⊙O1的半径是( )

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

8. 如图,⊙O1与⊙O2,它们的半径分别为3和1,过O1作⊙O2的切线,切点为A,则O1A的长为( )

A. 4 B. 2 C.

9. 现在半径为R的两圆外切,能与这两圆都相切且半径为2R的圆共有( )

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

10. 如图,⊙O1与⊙O2外切于点P,直线AB过点P交⊙O1于A,交⊙O2于B,点C、D分别为⊙O1、⊙O2上的点,且∠ACP=65°,则∠BDP等于( )

A. 30° B. 45° C. 55° D. 65°

11. 如图,三个半径为<4" height:107.25pt'>

12. 在△ABC中,∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心,以2cm 为半径作圆,则点C和⊙A的位置关系是( )

A. C点在⊙A上 B. C点在⊙A外

C. C点在⊙A内 D. 不能确定

13. 如图,在⊙O中,AB、AC是⊙O内相垂直的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,且AB=8cm ,AC=6cm ,那么⊙O的半径OA长为( )

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm

14. 如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC等于( )

A. <6" style='width:24pt; > B. C.

15. 下列命题中,正确的是( )

A. 三点可以确定一个圆

B. 三角形的外心是三角形三边中线的交点

C. 一个三角形有且只有一个外接圆

D. 三角形的外心必在三角形的内部

16. 已知⊙O的半径为r,圆心O到直线 的距离为 ,若直线 与⊙O有交点,则下列结论正确的是( )

A. C.

17. 已知两圆的半径分别为R1,R2,两圆的圆心距为 ,如果两圆既有内公切线,又有外公切线,那么这两圆半径的和与圆心距之间的关系应是( )

A.

C.

18. 如图,半径为4的两等圆外切,它们的一条外公切线与两圆围成的阴影部分中,存在的最大圆的半径等于( )

A. B. C. D. 1

19. 如图,两个以O为圆心的同心圆AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D、E,AB=12,AO=15,AD=8,求两圆的半径。

 

 

 

【试题答案

1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. D 10. D

11. B 12. B 13. B 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D

19. 解:连结OB、OC ∵ AB切大圆于B,AC切小圆于C

∴ OB⊥AB,OC⊥AC ∵ DE是大圆的弦 ∴ DC=CE

中,

在大圆中,根据切割线定理 ∴ 8AE=122 AE=18

∴ 两圆的半径分别为9和


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